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Conception

Bloc Diagramme de Fiabilité

Le bon fonctionnement de l’infrastructure ainsi que sa disponibilité sont des éléments fondamentaux pour la bonne marche d’un établissement. La disponibilité instantanée A(t) est l’aptitude (probabilité) d’une entité à être en état d’accomplir une fonction requise dans des conditions données, à un instant donné t, en supposant que la fourniture des moyens extérieurs nécessaires soit assurée. Elle prend en compte à la fois la fiabilité et la maintenabilité.

La maintenabilité est, dans des conditions données d’utilisation, l’aptitude (la probabilité) d’une entité à être maintenue ou remise en service sur un intervalle donné de temps, dans un état dans lequel elle peut accomplir une fonction requise, lorsque la maintenance est accomplie dans des conditions données avec des procédures et des moyens prescrits.

La définition de la disponibilité est une définition de la CEI, elle est calquée sur celle de la fiabilité mais l’aspect temporel est fondamentalement différent puisqu’on s’intéresse à un état à un instant donné t et pas à une durée. Le fonctionnement à l’instant t ne nécessite pas forcément le fonctionnement sur \left[0, t\right].

De plus la notion de disponibilité fait référence aux systèmes réparables puisque la formule de la disponibilité opérationnelle est : \frac{MUT}{MUT+MDT}

sachant que MUT est la durée moyenne de bon fonctionnement après réparation et MDT est la durée moyenne de défaillance comprenant la détection de la panne, la durée d’intervention, le temps de la réparation et le temps de remise en service.  Il s’agit bien de paramètres en relation avec le fait que les équipements sont réparables.

Définition des temps moyens

Définition des temps moyens

Définitions des temps moyens au cours de la vie d’un système :

  • MTTF (Mean Time To Failure) ou MTTFF (Mean Time To First Failure) : temps moyen de bon fonctionnement avant la première défaillance.
  • MTBF (Mean Time Between Failure) : temps moyen entre deux défaillances d’un système réparable. Il ne faut pas confondre cette définition avec le MTBF (Mean Time Before Failure) donné par les constructeurs et qui correspond au MTTF.
  • MDT (Mean Down Time) : durée moyenne de défaillance comprenant la détection de la panne, la durée d’intervention, le temps de la réparation et le temps de remise en service.
  • MTTR (Mean Time To Repair) : temps moyen de réparation.
  • MUT (Mean Up Time) : durée moyenne de bon fonctionnement après réparation.

Pour calculer la disponibilité opérationnelle, nous disposons des MTBF de chaque composant donnés par les constructeurs. A partir de ces MTBF (Mean Time Before Failure) nous pouvons calculer la disponibilité du composant grâce à la formule : \frac{MTBF}{MTBF+MDT}

Une fois la disponibilité de tous les composants calculée, nous pouvons appliquer les relations issues des blocs diagrammes fonctionnels et ainsi obtenir la disponibilité du nœud.

Il ne reste plus qu’à réutiliser les blocs diagrammes fonctionnels pour calculer la disponibilité du système. Les BDF sont une méthode pour représenter un système de façon simplifiée et ainsi de décomposer le système en blocs. Ces blocs seront des composants en série, en parallèle ou en combiné, de sorte à faciliter les calculs de disponibilité.

Un rappel sur les probabilités va permettre de mieux appréhender la suite. Une probabilité est exprimée par un nombre variant de 1 à 0. La valeur 1 représente la certitude que l’événement arrivera et la valeur 0 représente la certitude qu’il n’arrivera pas. Pour un événement E_i : 0 \leq P(E_i) \leq 1.

Si P(A) est la probabilité que l’événement A survienne, la probabilité que A n’arrive pas est : P(\bar{A}) = 1 - P(A)

La probabilité que les deux événements arrivent est le produit de leurs probabilités respectives : P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)

De manière générique le modèle mathématique utilisé [4] est un système à redondance K/N. Un système composé de N éléments est dit à redondance K/N si K éléments suffisent à assurer sa mission. La redondance est généralement supposée active.

Système à redondance K/N

Système à redondance K/N

La disponibilité de ce système se calcule à l’aide de la formule suivante : A(t) = \sum \limits_{i=K}^N C_N^i A(t)^i (1-A(t))^{N-i}

Prenons l’exemple d’un système avec trois éléments parallèles, dont deux doivent fonctionner pour que le système marche. Cela peut se traduire sous forme de probabilités :

  • Il faut que tous les composants fonctionnent : A_1 \times A_2 \times A_3

ou

  • Il faut qu’au moins deux des composants fonctionnent : (1-A_1) \times A_2 \times A_3 + A_1 \times (1-A_2) \times A_3 + A_1 \times A_2 \times (1-A_3)

En combinant le tout, on obtient :

A(t) = A_1 \times A_2 \times A_3 + (1-A_1) \times A_2 \times A_3 + A_1 \times (1-A_2) \times A_3 + A_1 \times A_2 \times (1-A_3)

A(t) = A_1 \times A_2 + A_1 \times A_3 + A_2 \times A_3 - 2 \times A_1 \times A_2 \times A_3

Système en série (N/N)

Système en série (N/N)

Un système en série (N/N) est un cas particulier dans lequel N éléments sur N doivent fonctionner pour que le système soit opérationnel. Dans ce cas, K=N dans la formule générale.

A(t) = \sum \limits_N^N C_N^N A(t)^N (1-A(t))^{N-N}

Comme C_N^N = 1 et (1-A(t))^{N-N} = 1

Alors A(t)= A(t)^N = A_1(t) \times A_2(t) \times \ldots \times A_N(t) = \prod \limits_{i=1}^N A_i(t)

En effet :

P_{(fonctionne)} = P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_N)

P_{(fonctionne)} = P(A_1 \text{ et } A_2 \text{ et } \ldots \text{ et } A_N)

P_{(fonctionne)} = P(A_1) \times P(A_2) \times \ldots \times P(A_N)

Pour tout nombre A_i(t) \in ]0, 1[, si les valeurs de A_i(t) tendent vers 1, alors A_1(t) \times A_2(t) \times \ldots \times A_N(t) tend vers 0. Ce système d’architecture est très défavorable.

Système en parallèle (1/N)

Système en parallèle (1/N)

Un système en parallèle est un cas particulier dans lequel il suffit qu’un seul élément sur N fonctionne pour que le système soit opérationnel. Dans ce cas, K=1 dans la formule générale.

A(t) = \sum \limits_{i=1}^N C_N^i A(t)^i (1-A(t))^{N-i}

Qui s’écrit : A(t)= 1 - \prod \limits_{i=1}^N (1 - A_i(t))

En effet :

P_{(fonctionne)} = P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_N)

P_{(fonctionne)} = 1 - P_{(ne \: fonctionne \: pas)}

P_{(fonctionne)} = 1 - P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \ldots \cap \bar{A}_N)

P_{(fonctionne)} = 1 - P(\bar{A}_1 \text{ et } \bar{A}_2 \text{ et } \ldots \text{ et } \bar{A}_N)

P_{(fonctionne)} = 1 - [P(\bar{A}_1) \times P(\bar{A}_2) \times \ldots \times P(\bar{A}_N)]

P_{(fonctionne)} = 1 - [(1 - P(A_1)) \times (1 - P(A_2)) \times \ldots \times (1 - P(A_N))]

Pour tout nombre A_i(t) \in ]0, 1[, si les valeurs de A_i(t) tendent vers 1, (1 - A_i(t)) tend vers 0 et (1 - A_1(t)) \times (1 - A_2(t)) \times \ldots \times (1 - A_N(t)) tend vers 0. Alors 1 - \prod \limits_{i=1}^N (1 - A_i(t)) tend vers 1. Ce système d’architecture est très favorable.

Système en série-parallèle

Système en série-parallèle

A(t)= \prod \limits_{j=1}^P \left [ 1 - \prod \limits_{i=1}^{N_j} (1 - A_{ij}(t)) \right ]

avec P configurations parallèles comportant N_j éléments chacune que l’on met en série et A_{ij}(t) étant la fiabilité du  i_{\grave{e}me} élément de la j_{\grave{e}me} configuration parallèle.

Pour tout nombre A_{ij}(t) \in ]0, 1[, si les valeurs de A_{ij}(t) tendent vers 1, (1 - A_{ij}(t)) tend vers 0 et (1 - A_1(t)) \times (1 - A_2(t)) \times \ldots \times (1 - A_{ij}(t)) tend vers 0. Alors \left [ 1 - \prod \limits_{i=1}^{N_j} (1 - A_{ij}(t)) \right ] tend vers 1. On a vu précédemment que le produit de valeurs qui tendent vers 1 est un résultat qui tend vers 0, alors \prod \limits_{j=1}^P \left [ 1 - \prod \limits_{i=1}^{N_j} (1 - A_{ij}(t)) \right ] tend vers 0. Ce système d’architecture est très défavorable.

Système en parallèle-série

Système en parallèle-série

A(t)= 1 - \prod \limits_{i=1}^N \left [ 1 - \prod \limits_{j=1}^{P_i} A_{ij}(t) \right ]

avec N configurations séries comportant P_i éléments chacune que l’on met en parallèle et A_{ij}(t) étant la fiabilité du  j_{\grave{e}me} élément de la i_{\grave{e}me} configuration série.

Pour tout nombre A_{ij}(t) \in ]0, 1[, si les valeurs de A_{ij}(t) tendent vers 1, A_1(t) \times A_2(t) \times \ldots \times A_{ij}(t) tend vers 0 et \left [ 1 - \prod \limits_{j=1}^{P_i} A_{ij}(t) \right ] tend vers 1. On a vu précédemment que le produit de valeurs qui tendent vers 1 est un résultat qui tend vers 0, alors 1 - \prod \limits_{i=1}^N \left [ 1 - \prod \limits_{j=1}^{P_i} A_{ij}(t) \right ] tend vers 1. Ce système d’architecture est très favorable.

Système pont

Système pont

Un système pont n’est pas un système à redondance K/N. On appelle ainsi un système qui ne se réduit pas à une combinaison série-parallèle. Pour calculer la disponibilité de ce système, il convient d’utiliser le théorème des probabilités conditionnelles :

A = A_3 \times A_{(3 \: fonctionne)} + (1 - A_3) \times A_{(3 \: ne \: fonctionne \: pas)}

A(t) se déduit donc de l’étude des deux schémas ci-dessous.

Système A (3 ne fonctionne pas)

Système A (3 ne fonctionne pas)

Système B (3 fonctionne)

Système B (3 fonctionne)

Du système A (parallèle-série), on en déduit :

A_A(t) = 1 - (1 - A_1 \times A_4) \times (1 - A_2 \times A_5)

Du système B (série-parallèle), on en déduit :

A_B(t) = (A_1 + A_2 - A_1 \times A_2) \times (A_4 + A_5 - A_4 \times A_5)

En reprenant la formule des probabilités conditionnelles :

A(t) = A_3 \times (A_1 + A_2 - A_1 \times A_2) \times (A_4 + A_5 - A_4 \times A_5) + (1 - A_3) \times (1 - (1 - A_1 \times A_4) \times (1 - A_2 \times A_5))

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